Question

如图所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是弧BAC的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且BF=AD，EM切⊙O于M．
（1）求证：△ADC∽△EBA；
（2）求证：AC²=

1

2

BC•CE；
（3）如果AB=4，EM=6，求cot∠CAD的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠CDA=∠ABE．又由AD=BF，可得∠DCA=∠BAE，即可证得：△ADC∽△EBA；
（2）由题意易证得△ACH∽△ECA，又由垂径定理，可证得：AC²=

1

2

BC•CE；
（3）由EM是⊙O的切线，EM=6，可得EB•EC=EM²=36．又由AC²=

1

2

BC•CE，即可得BC•CE=32．继而求得答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDA=∠ABE．
∵AD=BF，
∴∠DCA=∠BAE，
∴△ADC∽△EBA．

（2）证明：如图所示，过A作AH⊥EC于H．
∵A是

BDC

的中点．
∴HC=HB=

1

2

BC．
∵∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠CHA=90°，
∵∠ACE=∠HCA，
∴△ACH∽△ECA，
∴

AC

CE

=

CH

AC

，
∴AC²=CH•CE=

1

2

BC•CE．

（3）解：∵A是弧BAC的中点，AB=4，
∴AC=AB=4．
∵EM是⊙O的切线，EM=6，
∴EB•EC=EM²=36．①
∵AC²=

1

2

BC•CE，
∴BC•CE=32．②
①+②得，EC（EB+BC）=17，
∴EC²=68．
∵EC²=AC²+AE²，
∴AE=

68-16

=2

13

．
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD=∠AEC．
∴在Rt△ADC中，cot∠CAD=cot∠ACE=

AE

AC

=

13

2

．

点评：此题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．