Question

13．阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k₁x+b₁（k₁≠0）的图象为直线l₁，一次函数y=k₂x+b₂（k₂≠0）的图象为直线l₂，若k₁=k₂，且b₁≠b₂，我们就称直线l₁与直线l₂互相平行．
解答下面的问题：
（1）已知正比例函数y=-x的图象为直线l₁，求过点P（1，3）且与已知直线l₁平行的直线l₂的函数表达式；
（2）设直线l₂分别与y轴、x轴交于点A、B，求l₁和l₂两平行线之间的距离；
（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为Q（0，$\frac{12}{5}$）．
（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）设直线l₂的函数表达式为y=-x+b，把P坐标代入求出b的值，即可确定出表达式；
（2）过O作ON垂直于AB，此时ON为两平行线间的距离，根据三角形AOB为等腰直角三角形，求出ON的长即可；
（3）找出B关于y轴的对称点B′（-4，0），连接PB′，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB最小，利用待定系数法求出直线B′P解析式，找出此直线与y轴交点即为Q坐标；
（4）如图2所示，分三种情况考虑：当PM₁=PB时；当PM₂=BM₂时，M₂为线段PB垂直平分线与x轴的交点；当PB=M₃B时，分别求出M坐标即可．

解答 解：（1）根据正比例函数y=-x的图象为直线l₁，设直线l₂的函数表达式为y=-x+b，
把P（1，3）代入得：3=-1+b，即b=4，
则过点P（1，3）且与已知直线l₁平行的直线l₂的函数表达式为y=-x+4；
（2）过O作ON⊥AB，如图1所示，ON为l₁和l₂两平行线之间的距离，

对于直线y=-x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=4，
∴A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，且ON为斜边上的中线，
∴ON=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
则l₁和l₂两平行线之间的距离为2$\sqrt{2}$；
（3）找出B关于y轴的对称点B′（-4，0），连接PB′，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB最小，
设直线B′P的解析式为y=mx+n，
把B′和P坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{m+n=3}\end{array}\right.$，
解得：m=$\frac{3}{5}$，n=$\frac{12}{5}$，
∴直线B′P的解析式为y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{12}{5}$，
令x=0，得到y=$\frac{12}{5}$，即Q（0，$\frac{12}{5}$）；
故答案为：Q（0，$\frac{12}{5}$）；
（4）如图2所示，分三种情况考虑：

当PM₁=PB时，由对称性得到M₁（-2，0）；
当PM₂=BM₂时，M₂为线段PB垂直平分线与x轴的交点，
∵直线PB的解析式为y=-x+4，且线段PB中点坐标为（2.5，1.5），
∴线段PB垂直平分线解析式为y-1.5=x-2.5，即y=x-1，
令y=0，得到x=1，即M₂（1，0）；
当PB=M₃B=$\sqrt{（4-1）^{2}+（0-3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$时，OM₃=OB+BM₃=3+3$\sqrt{2}$，此时M3（3+3$\sqrt{2}$，0），
综上，M的坐标为（-2，0）或（1，0）或（3+3$\sqrt{2}$，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，两直线垂直及平行时斜率满足的关系，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．