Question

18．在Rt△ABC中，∠ABC=45°，F为BC中点，BE平分∠ABC交AF于G，交AC于E，CD⊥BE于D．有以下判断：①BF=CF；②∠ABE=∠DCE；③AE=AG；④BE=2CD；⑤CE=$\sqrt{2}$AG；⑥CE=BG．其中正确的判断个数是（　　）

• A． 3个
• B． 4个
• C． 5个
• D． 6个

Answer 1

分析 由中点的定义得出①正确；由直角三角形的性质和对顶角相等得出②正确；由角平分线的定义和三角形内角和定理得出∠AGE=∠AEG，证出AE=AG，③正确；连接AD，证明点A、B、C、D四点共圆，由圆周角定理得出∠ABD=∠ACD，∠DAC=∠DBC，证出∠DAC=∠ACD，得出AD=CD，取BE的中点H，连接AH，由直角三角形斜边上的中线性质得出AH=BH=$\frac{1}{2}$BE，得出∠HAB=∠HBA，证出∠ADB=∠AHD，得出AD=AH=CD，证出④正确；证明△ABE∽△DBC，得出$\frac{AG}{BE}$=$\frac{CD}{\sqrt{2}AB}$，再证明△ABE∽△DCE，得出$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CE}{BE}$，即可得出CE=$\sqrt{2}$AG，⑤正确；证明△BFG∽△CDE，得出$\frac{BG}{CE}=\frac{BF}{CD}$，由BF=$\frac{1}{2}$BC＞$\frac{1}{2}$BE=CD，得出BG＞CE，⑥不正确；即可得出结论．

解答 解：∵F为BC中点，
∴BF=CF，故①正确；
∵∠BAC=90°，CD⊥BE，
∴∠BAE=∠CDE=90°，
∵∠AEB=∠DEC，
∴∠ABE=∠DCE，故②正确；
∵∠ABC=45°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=22.5°，
∴∠AEG=90°-22.5°=67.5°，
∵Rt△ABC中，∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵F为BC中点，
∴∠FAE=∠FAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠AGE=180°-∠GAE-∠AEG=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AE=AG，故③正确；
连接AD，如图所示：
∵∠BAC=∠BDC=90°，
∴点A、B、C、D四点共圆，
∴∠ABD=∠ACD，∠DAC=∠DBC，
∵∠ABD=∠DBC，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，取BE的中点H，连接AH，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$BE，
∴∠HAB=∠HBA，
∴∠AHE=∠HAB+∠ABH=2∠ABE=45°，
∵∠ADB=∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠AHD，
∴AD=AH=CD，
∴BE=2CD，故④正确；
∵∠BAE=∠CDB=90°，∠ABE=∠DBC，
∴△ABE∽△DBC，
∴$\frac{AE}{CD}$=$\frac{BE}{BC}$，
∵AE=AG，BC=$\sqrt{2}$AB，
∴$\frac{AG}{BE}$=$\frac{CD}{\sqrt{2}AB}$，
∵∠BAE=∠CDB=90°，∠ABE=∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CE}{BE}$，
∴$\frac{AG}{BE}$=$\frac{CE}{\sqrt{2}BE}$，
∴CE=$\sqrt{2}$AG，
故⑤正确；
∵在Rt△ABC中，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵F是BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴∠BFG=90°=∠D，
∵∠ABD=∠ACD，∠ABD=∠DBC，
∴DBC=∠ACD，
∴△BFG∽△CDE，
∴$\frac{BG}{CE}=\frac{BF}{CD}$，
∵BF=$\frac{1}{2}$BC＞$\frac{1}{2}$BE=CD，
∴BG＞CE，
∴⑥不正确；
正确的个数有5个，
故选：C．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等知识；本题综合性强，难度较大，熟记等腰三角形的性质和证明三角形相似是解决问题的关键．