如图.在平面直角坐标系xOy中.已知A.B两点的坐标分别为是线段A B上一点.抛物线L1:y=ax2+b1x+c1经过点A.C.顶点为D.抛物线L2:y=ax2+b2x+c2经过点C.B.顶点为E.AD.BE的延长线相交于点F．(1)若a=-$\frac{1}{2}$.m=-1.求抛物线L1.L2的解析式,(2)若a=-1.AF⊥BF.求m的值,(3)是否存在这样的实数a.无论m取� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（-4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L₁：y=ax²+b₁x+c₁（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L₂：y=ax²+b₂x+c₂（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．
（1）若a=-$\frac{1}{2}$，m=-1，求抛物线L₁，L₂的解析式；
（2）若a=-1，AF⊥BF，求m的值；
（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用待定系数法，将A，B，C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，易证△ADG～△EBH，根据相似三角形对应边比例相等即可解题；
（3）开放性答案，代入法即可解题；

解答解：（1）将A、C点带入y=ax²+b₁x+c₁中，可得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{×（-1）}^{2}{-b}_{1}{+c}_{1}=0}\\{-\frac{1}{2}{×（-4）}^{2}-{4b}_{1}{+c}_{1}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=-\frac{5}{2}}\\{{c}_{1}=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线L₁解析式为y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x-2$；
同理可得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{×（-1）}^{2}{-b}_{2}{+c}_{2}=0}\\{-\frac{1}{2}{×4}^{2}+{4b}_{2}{+c}_{2}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}=\frac{3}{2}}\\{{c}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线L₂解析式为y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x-2$；

（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，

由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-16-{4b}_{1}{+c}_{1}}\\{0{=-m}^{2}{+b}_{1}m{+c}_{1}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=m-4}\\{{c}_{1}=4m}\end{array}\right.$，
∴抛物线L₁解析式为y=-x²+（m-4）x+4m；
∴点D坐标为（$\frac{m-4}{2}$，$\frac{{m}^{2}+8m+16}{4}$），
∴DG=$\frac{{m}^{2}+8m+16}{4}$=$\frac{{（m+4）}^{2}}{4}$，AG=$\frac{m+4}{2}$；
同理可得：抛物线L₂解析式为y=-x²+（m+4）x-4m；
∴EH=$\frac{{m}^{2}-8m+16}{4}$=$\frac{{（m-4）}^{2}}{4}$，BH=$\frac{4-m}{2}$，
∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴，
∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°，
∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠EBH=90°，
∴∠ADG=∠EBH，
∵在△ADG和△EBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADG=∠EBH}\\{∠AGD=∠EHB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADG～△EBH，
∴$\frac{DG}{BH}$=$\frac{AG}{EH}$，
∴$\frac{\frac{{（m+4）}^{2}}{4}}{\frac{4-m}{2}}$=$\frac{\frac{m+4}{2}}{\frac{{（m-4）}^{2}}{4}}$，化简得：m²=12，
解得：m=±$2\sqrt{3}$；

（3）存在，例如：a=-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{4}$；
当a=-$\frac{1}{3}$时，代入A，C可以求得：
抛物线L₁解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$（m-4）x+$\frac{4}{3}$m；
同理可得：抛物线L₂解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$（m+4）x-$\frac{4}{3}$m；
∴点D坐标为（$\frac{m-4}{2}$，$\frac{{（m+4）}^{2}}{12}$），点E坐标为（$\frac{m+4}{2}$，$\frac{{（m-4）}^{2}}{12}$）；
∴直线AF斜率为$\frac{\frac{{（m+4）}^{2}}{12}}{\frac{4+m}{2}}$，直线BF斜率为$\frac{\frac{{（m-4）}^{2}}{12}}{\frac{m-4}{2}}$；
若要AF⊥BF，则直线AF，BF斜率乘积为-1，
即$\frac{\frac{{（m+4）}^{2}}{12}}{\frac{4+m}{2}}$×$\frac{\frac{{（m-4）}^{2}}{12}}{\frac{m-4}{2}}$=-1，化简得：m²=-20，无解；
同理可求得a=-$\frac{1}{4}$亦无解．