Question

5．如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

ɑ	30°	40°	50°	60°
β	120°	130°	140°	150°
γ	150°	140°	130°	120°

猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：
（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理即可得出β=α+90°，然后根据D是BC的中点，DE⊥BC，可知∠EDC=90°，由三角形外角的性质即可得出∠CED=α，从而可知O、A、E、B四点共圆，由圆内接四边形的性质可知：∠EBO+∠EAG=180°，即γ=-α+180°；
（2）由（1）及γ=135°可知∠BOA=90°，∠BCE=45°，∠BEC=90°，由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，所以$\frac{AE}{AC}=4$，根据勾股定理即可求出AE、AC的长度，从而可求出AB的长度，再由勾股定理即可求出⊙O的半径r；

解答 解：（1）猜想：β=α+90°，γ=-α+180°
连接OB，
∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°-∠BOA，
∵OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB=α，
∴∠BOA=180°-2α，
∴2β=360°-（180°-2α），
∴β=α+90°，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴OE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°
∵∠BCA=∠EDC+∠CED，
∴β=90°+∠CED，
∴∠CED=α，
∴∠CED=∠OBA=α，
∴O、A、E、B四点共圆，
∴∠EBO+∠EAG=180°，
∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，
∴γ+α=180°；

（2）当γ=135°时，此时图形如图所示，
∴α=45°，β=135°，
∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，
由（1）可知：O、A、E、B四点共圆，
∴∠BEC=90°，
∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，
∴$\frac{AE}{AC}=4$，
∴$\frac{CE}{AC}=3$，
设CE=3x，AC=x，
由（1）可知：BC=2CD=6，
∵∠BCE=45°，
∴CE=BE=3x，
∴由勾股定理可知：（3x）²+（3x）²=6²，
x=$\sqrt{2}$，
∴BE=CE=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，
∴AE=AC+CE=4$\sqrt{2}$，
在Rt△ABE中，
由勾股定理可知：AB²=（3$\sqrt{2}$）²+（4$\sqrt{2}$）²，
∴AB=5$\sqrt{2}$，
∵∠BAO=45°，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，设半径为r，
由勾股定理可知：AB²=2r²，
∴r=5，
∴⊙O半径的长为5．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．