Question

1．在△ABC中，∠B=2∠C，AC=4$\sqrt{5}$，AB=5，求BC的长．

Answer 1

分析 作∠ABC的角平分线BD交AC于点D，易证△CDB是等腰三角形和△ADB∽△ABC，由相似三角形的性质可求出AD的长，进而可求BD的长，再由对应边的比值相等即可求出BD的长．

解答 解：作∠ABC的角平分线BD交AC于点D，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠B=2∠C，
∴∠C=∠DBC，
∴BD=CD，
∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{BC}$，
设AD=x，
∴$\frac{x}{5}=\frac{5}{4\sqrt{5}}$，
∴AD=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∴则CD=BD=4$\sqrt{5}$-$\frac{5\sqrt{5}}{4}$=$\frac{11\sqrt{5}}{4}$，
∵$\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{BC}$，
∴$\frac{5}{4\sqrt{5}}=\frac{\frac{11}{4}\sqrt{5}}{BD}$，
∴BD=11．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，题目的设计很新颖，是非常不错的一道中考题，解题的关键是证明出CD=DB．