Question

7．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．猜想BD²、AD²、CD²之间的关系，并证明．

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性质可知BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，通过等量减等量即可推出∠ACE=∠BCD，根据全等三角形的判定定理“SAS”，得到△ACE≌△BCD，BD=AE，∠CAE=∠B=45°，然后根据等腰直角三角形的性质推出∠CAB=45°，即可推出EA⊥BA，即△EAD为直角三角形，再根据勾股定理即可推出AE²+AD²=DE²，即可得到结论．

解答 解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，CD=CE，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，
∵∠CAE=∠B=45°∠ACE=∠BCD，
∴∠DAE=∠BAC+∠EAC=45°+45°=90°，
∴在Rt△ADE中AD²+AE²=DE²，
即AD²+BD²=DE²，
∵DE=$\sqrt{2}$CD，
∴AD²+BD²=2CD²

点评 本题主要考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，关键在于认真的阅读题目，正确的运用相关的性质定理求证三角形全等．