Question

20．如图，正方形ABCD中，AB=20，F为AD上的点，连接CF，作CE⊥CF交AB的延长线于点E，作DG⊥CF于点G，若BE=15，CE=25，则DG的长度为12．

Answer 1

分析 根据正方形性质得：∠ADC=∠CBE，CD=BC，证明△FDC≌△EBC，得DF=BE=15，FC=EC=25，由勾股定理求DC的长，再根据面积法求DG的长．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=∠ABC=∠DCB=90°，CD=BC，
∴∠ADC=∠CBE=90°，∠DCF+∠BCF=90°，
∵EC⊥CF，
∴∠ECF=90°，
∴∠BCF+∠BCE=90°，
∴∠DCF=∠BCE，
∴△FDC≌△EBC，
∴DF=BE=15，FC=EC=25，
由勾股定理得：DC=$\sqrt{F{C}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-1{5}^{2}}$=20，
∵DG⊥FC，
∴S_△DCF=$\frac{1}{2}$DF•DC=$\frac{1}{2}$FC•DG，
15×20=25DG，
DG=12．
故答案为：12．

点评 本题考查了正方形、全等三角形的性质和判定，在正方形中，常利用同角的余角相等来证明角相等，为三角形全等创造条件，本题还利用了面积法求线段的长，这在几何证明中经常运用，要熟练掌握．