Question

已知△AOB和△COD都是等腰直角三角形，AO=BO，CO=DO，△AOB可绕着点O顺时针旋转．

（1）如图1，当点A、O、D在同一直线上时，请指出下列关系：
①AB与CD：

 

；
②AC与BD：

 

．
（2）若△AOB旋转到图2、图3位置时，上述哪些关系还成立吗？若成立，请选择一个图形给予证明．若都不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,旋转的性质

专题：

分析：（1）①延长AB交CD于E，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABO=45°，∠OCD=45°，再根据三角形内角和定理可得∠CEB=90°，进而得到AB⊥CD；
②证明△AOC≌△BOD可得AC=BD；
（2）AC=BD成立，AB⊥CD不成立；①延长AB、OB交CD于E、F，根据三角形内角与外角的关系可得∠OFD=∠OCD+∠COF＞45°，可证明∠AEC≠90°；
②证明△AOC≌△BOD可得AC=BD．

解答：解：（1）AB⊥CD，AC=BD，
①延长AB交CD于E，
∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，∠OCD=45°，
∵∠CBE=∠ABO=45°，
∴∠CEB=180°-45°-45°=90°，
∴AB⊥CD；

②∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，
∴∠AOB=∠BOD=90°，
在△AOC和△BOD中

AO=BO ∠AOB=∠BOD CO=DO

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；


（2）AC=BD成立，AB⊥CD不成立，
①延长AB、OB交CD于E、F，
∵△AOB和△COD都是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，∠OCD=45°，
∴∠FBE=∠ABO=45°，
∵∠OFD=∠OCD+∠COF＞45°，
∴∠AEC=180°-45°-∠OFD≠90°，
∴AB⊥CD不成立；

②∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD．
∵△OAB与△COD均为等腰三角形，
∴OA=OB，OC=OD．
在△AOC和△BOD中

AO=BO ∠AOB=∠BOD CO=DO

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．