Question

14．等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，底边BC=8cm，⊙O的半径为5cm，则△ABC的面积为32或8．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，即AD垂直平分BC，根据垂径定理得到圆心O在AD上；连结OD，在Rt△OBC中利用勾股定理计算出OD=3，然后分类讨论：当△ABC为锐角三角形时，AD=OA+OD=8；当△ABC为钝角三角形时，AD=OA-OD=2，再根据三角形面积公式分别进行计算．

解答 解：作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴AD垂直平分BC，
∴圆心O在AD上，
连结OD，
在Rt△OBC中，∵BD=4，OB=5，
∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=3，
当△ABC为锐角三角形时，AD=OA+OD=5+3=8，此时S_△ABC=$\frac{1}{2}$×8×8=32；
当△ABC为钝角三角形时，AD=OA-OD=5-3=2，此时S_△ABC=$\frac{1}{2}$×8×2=8．
故答案为：32或8．

点评 本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．