Question

11．已知点A（1，7）、B（3，2），点P是y轴上一动点．
（1）PA+PB的最小值是$\sqrt{41}$；
（2）若点Q也是y轴上的点，且PQ=3，则当以A、B、P、Q四点为顶点，四边形的周长最小时，点P的坐标是（0，$\frac{7}{2}$）或（0，$\frac{13}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交点为P，此时PA+PB最小，求出A′B的长即可．
（2）因为PA+QB最小时，四边形APQB周长最小，将点B向上平移3个单位得B′点，连接A′B′交y轴于点P，此时PA+QB=PB′+PA′=A′B′最小，求出直线A′B即可解决，注意有两解．

解答 解：（1）如图1中，作的A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交点为P，此时PA+PB最小．

PA+PB最小值=PA′+PB=A′B，
∵A′（-1，7），B（3，2），
∴A′B=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=41．
故答案为$\sqrt{41}$．
（2）如图2中，

∵AB、PQ是定值，
∴PA+QB最小时，四边形APQB周长最小，
将点B向上平移3个单位得B′点，连接A′B′交y轴于点P，此时PA+QB=PB′+PA′=A′B′最小，
设直线A′B′为y=kx+b则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=7}\\{3k+b=5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{13}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线A′B′为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{13}{2}$，
∴点P坐标为（0，$\frac{13}{2}$），点Q坐标（0，$\frac{7}{2}$），
∵P、Q位置可以互换，
∴点P坐标（0，$\frac{7}{2}$），点Q坐标（0，$\frac{13}{2}$）．
∴点Q坐标（0，$\frac{7}{2}$），（0，$\frac{13}{2}$）．
故答案为（0，$\frac{7}{2}$），（0，$\frac{13}{2}$）．

点评 本题考查轴对称-最短问题，两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称正确找到点P的位置，学会利用函数解决交点坐标问题，属于中考常考题型．