Question

16．已知点A（-3，0），B为直线y=x-2上一动点，求线段AB的最小值．

Answer 1

分析 根据垂线段最短可知，当AB与直线y=x-2垂直时，线段AB最短，设直线y=x-2交x轴、y轴于C、D，根据交点坐标求得OC、OD、AC的长，然后根据△ABC∽△DOC，
即可求得AB的最小值．

解答 解：如图，根据垂线段最短，当AB与直线y=x-2垂直时，线段AB最短，
设直线y=x-2交x轴、y轴于C、D，
∴C（2，0），D（0，-2），
∴OC=2，OD=2，DC=2$\sqrt{2}$，
∵A（-3，0），
∴AC=5，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠DOC=90°，
∵∠ACB=∠DCO，
∴△ABC∽△DOC，
∴$\frac{AB}{OD}$=$\frac{AC}{CD}$，即$\frac{AB}{2}$=$\frac{5}{2\sqrt{2}}$，
∴AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
∴线段AB的最小值为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，垂线段最短性质的应用，三角形相似的判定和性质，垂线段最短是本题的关键．