Question

17．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过A（-2，4），B（1，b）．求：
（1）求k、b的值；
（2）若点C（0，2），试问在坐标轴上是否存在一点P，使PB=PC？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把A（-2，4）代入正比例函数y=kx即可得出k的值，进而可得出正比例函数的解析式，再把B（1，b）代入求出b的值即可；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，由中点坐标公式得出线段BC的中点坐标，根据PB=PC可知点P在线段BC的垂直平分线上，求出线段BC垂直平分线的解析式，进而可得出结论．

解答 解：（1）∵正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过A（-2，4），
∴-2k=4，解得k=-2，
∴正比例函数的解析式为y=-2x．
∵B（1，b）在此函数上，
∴b=-2；

（2）∵C（0，2），B（1，-2），
∴线段BC的中点坐标为D（$\frac{1}{2}$，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+d（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{k+d=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{k=-4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-4x+2．
∵PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
设线段BC的垂直平分线为y=$\frac{1}{4}$x+m，
∵D（$\frac{1}{2}$，0），
∴$\frac{1}{8}$+m=0，解得m=-$\frac{1}{8}$，
∴线段BC的垂直平分线为y=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{8}$，
∴当x=0时，y=-$\frac{1}{8}$；
当y=0时，x=$\frac{1}{2}$，
∴P（0，-$\frac{1}{8}$）或P（$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．