Question

15．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，DB=DC=EC，∠A=2∠ADB，AD=m，AB=n．

（1）在图1中找出与∠ABD相等的角，并加以证明；
（2）求BE的长；
（3）将△ABD沿BD翻折，得到△A′BD．若点A′恰好落在EC上（如图2），求$\frac{m}{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质知∠DBC=∠ADB，由DB=DC，得出∠DCB=∠DBC=∠ADB，由DC=EC，得出∠CDE=∠CED=∠DBC+∠BCE=∠ADB+∠BCE，再由三角形内角和定理即可得出结果；
（2）在BC上取一点F，使CF=AB=n，连接EF，由SAS证得△ABD≌△FCE，得出∠EFC=∠DAB=2∠ADB，∠FEC=∠ADB，EF=AD=m，推出∠BEF=∠EFC-∠EBC=2∠ADB-∠ADB=∠ADB=∠EBF，BF=EF=m，BC=BF+FC=m+n，再由△EBC∽△ADB，得出$\frac{BC}{DB}$=$\frac{EC}{AB}$=$\frac{BE}{DA}$，代入数值即可得出结果；
（3）由折叠性质知A′B=AB=n，∠A′BE=∠ABE，由△A′EB∽△BEC，得出$\frac{A′B}{BC}$=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{BE}{DB}$，代入数值即可得出结果．

解答 解：（1）∠BCE=∠ABD，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∵DB=DC，
∴∠DCB=∠DBC=∠ADB，
∵DC=EC，
∴∠CDE=∠CED=∠DBC+∠BCE=∠ADB+∠BCE，
∵∠DBC+∠DCB+∠CDB=180°，即∠ADB+∠ADB+（∠ADB+∠BCE）=3∠ADB+∠BCE=180°，
又∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠A=2∠ADB，
∴3∠ADB+∠ABD=180°，
∴∠BCE=∠ABD；

（2）在BC上取一点F，使CF=AB=n，连接EF，如图1所示：
由（1）知：∠ABD=∠FCE，
在△ABD和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CF}\\{∠ABD=∠FCE}\\{DB=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△FCE（SAS），
∴∠EFC=∠DAB=2∠ADB，∠FEC=∠ADB，EF=AD=m，
∴∠BEF=∠EFC-∠EBC=2∠ADB-∠ADB=∠ADB=∠EBF，
∴BF=EF=m，BC=BF+FC=m+n，
∵∠EBC=∠ADB，∠BCE=∠DBA，
∴△EBC∽△ADB，
∴$\frac{BC}{DB}$=$\frac{EC}{AB}$=$\frac{BE}{DA}$，即：$\frac{m+n}{DB}$=$\frac{DB}{n}$=$\frac{BE}{m}$，
∴DB=$\sqrt{n（m+n）}$，
∴BE=$\frac{m\sqrt{n（m+n）}}{n}$；

（3）∵将△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，点A′恰好落在EC上，
∴A′B=AB=n，∠A′BE=∠ABE，
由（1）知：∠ABE=∠BCE，
∴∠A′BE=∠BCE，
∵∠A′EB=∠BEC，
∴△A′EB∽△BEC，
∴$\frac{A′B}{BC}$=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{BE}{DB}$，即：$\frac{n}{m+n}$=$\frac{\frac{m\sqrt{n（m+n）}}{n}}{\sqrt{n（m+n）}}$，
整理得：m²+mn-n²=0，即（$\frac{m}{n}$）²+$\frac{m}{n}$-1=0，
解得：$\frac{m}{n}$=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$（负值舍去），
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．