Question

3．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC=2，AD=4，AB=6，点M是线段AD上任意一点，连接MC并延长到点E，使MC=CE，以MB和ME为边作平行四边形MBNE，请直接写出线段MN长度的最小值．

Answer 1

分析 作辅助线，构建相似三角形，先根据平行线分线段成比例定理得：$\frac{CG}{BG}=\frac{MC}{BN}$=$\frac{1}{2}$，G是BC上一定点，得出
当MN⊥AD时，MN的长最小，计算AH的长就是MN的最小值．

解答 解：当MN⊥AD时，MN的长最小，
∴MN∥DC∥AB，
∴∠DCM=∠CAN=∠MNB=∠NBH，
设MN与BC相交于点G，
∵ME∥BN，MC=CE，
∴$\frac{CG}{BG}=\frac{MC}{BN}$=$\frac{1}{2}$，
∴G是BC上一定点，
作NH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵∠D=∠H=90°，
∴Rt△MDC∽Rt△NHB，
即$\frac{DC}{HB}=\frac{MC}{BN}$=$\frac{1}{2}$，
∴BH=2DC=4，
∴AH=AB+BH=6+4=10，
∴当MN⊥AD时，MN的长最小，即为10；
则线段MN长度的最小值为10．

点评 考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、矩形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键．