Question

9．如图，锐角△ABC中AB=c，AC=b，BC=a且有b²-c²=ac-ab．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）作△ABC两条高BD、CE相交于点O，如果连接OA，试猜想直线OA与直线BC的位置关系并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由b²-c²=ac-ab，得到（b+c）（b-c）=-a（b-c），由于AB=c，AC=b，BC=a，于是得到当b-c=0时，等式才成立，即可得到结论；
（2）连接AO并延长交BC于M，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，由垂直的定义得到∠BDC=∠CEB=90°，根据三角形的内角和得到∠OBC=∠OCB，根据等腰三角形的判定得到OB=OC，推出△ABO≌△ACO，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵b²-c²=ac-ab，
∴（b+c）（b-c）=-a（b-c），
∵AB=c，AC=b，BC=a，
∴当b-c=0时，等式才成立，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）连接AO并延长交BC于M，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
在△ABO与△ACO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AO=AO}\\{BO=CO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ACO，
∴∠BAO=∠CAO，
∴AM⊥BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．