Question

8．在△ABC中，E、F两点都在最长边BC上，BE=BA、CF=CA，又DE∥AB，DF∥AC，求证：△ABF、△ACE、△DEF的外接圆交于一点．

Answer 1

分析 如图，设△ABF、△ACE的外接圆交于A、H，连接AH、HF、HE．只要证明H、F、D、E四点共圆，即只要证明∠HFD+∠HED=180°即可．

解答 证明：如图，设△ABF、△ACE的外接圆交于A、H，连接AH、HF、HE．

∵DF∥AC，DE∥AB，
∴∠DFE=∠ACB，∠FED=∠ABC，
∵∠HFE=∠BAH，∠HEF=∠CAH，
∴∠HFD+∠HED=∠EFD+∠HFE+∠FED+∠HEF=∠ACB+∠BAH+∠CAH+∠ABC=∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，
∴H、F、D、E四点共圆，
∴△EDF的外接圆经过点H，
∴△ABF、△ACE、△DEF的外接圆交于一点H．

点评 本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆内接四边形的性质、四点共圆的判定等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，学会利用四点共圆解决问题，属于竞赛题目．