Question

3．如图，已知P为△ABC内一点，且∠PAB=∠PCB，∠PBC=∠PAC，求证：P为△ABC的垂心．

Answer 1

分析 延长CP、AP分别交AB、BC于点D、E，连接DE，利用∠PAB=∠PCB和三角形的内角和定理得出∠ADC=∠CAE，证得A、D、E、C四点共圆，得出∠EAC=∠EDC，结合∠PBC=∠PAC，证得B、E、P、D四点共圆，得出∠ADC=∠BDP=∠BEP=∠PEC=90°，证得结论成立．

解答 证明：如图，

延长CP、AP分别交AB、BC于点D、E，连接DE，
∵∠PAB=∠PCB，∠APD=∠CPE，
∴∠ADC=∠AEC，
∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠EAC=∠EDC，
又∵∠PBC=∠PAC，
∴∠PBE=∠EDP，
∴B、E、P、D四点共圆，四边形BEPD是圆内接四边形，
∴∠BDP=∠BEP=∠PEC，
∴∠ADC=∠BDP=∠BEP=∠PEC=90°，
∴CD⊥AB，AE⊥BC，
∴P为△ABC的垂心．

点评 此题考查三角形的垂心，利用垂心的定义，构造出四点共圆的条件，利用圆周角定理、平角的意义证得结论成立．