Question

11．如图，已知抛物线经过A（1，0），C（0，4）两点，交x轴于另一点B，其对称轴是x=-1.5．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）点D在抛物线上，连接BD交y轴于点E，连接AE，若AE⊥BD，求点D的坐标；
（3）将△AOC绕坐标平内一点Q（n，2）旋转180°后得到△A′O′E′（点A、E的对应点分别为A′、E′），当△A′O′E′的三条边与抛物线共有两个公共点时，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设其解析式为y=a（x+1.5）²+k，把A（1，0），C（0，4）代入，解方程组即可得到结论；
（2）令y=0，则0=-（x+1.5）²+6.25，解 得x=1或x=-4，
求得B（-4，0），设E（0，m），根据勾股定理列方程得到m=2或-2，I．当m=2时，求得直线BD解析式为：y=0.5x+2，解方程组得到D（0.5，2.25），Ⅱ．当m=-2时，求得直线BD解析式为：y=-0.5x-2，解方程组得到D（1.5，-2.75）；
（3）根据旋转的性质得到A?（2n-1，4），O?（2n，4），C?（2n，0），I．当△A?O?C?与抛物线在直线x=-1.5左侧的部分有两个公共点时，（2n-1＜-1.5），C?（2n，0）与点C重合是左临界点，A?（2n-1，4）在抛物线上是右临界点，解方程得到n的范围是-2＜n＜-1，II．当△A?O?C?与抛物线在直线x=-1.5右侧的部分有两个公共点时，（2n-1＞-1.5），O解方程得到n=0，当直线A?C?与抛物线唯一的公共点，直线A?C?解析式为：y=-4x+8n，解方程组即可得到结论．

解答 （1）∵抛物线对称轴是x=-1.5
∴设其解析式为y=a（x+1.5）²+k，
又抛物线经过A（1，0），C（0，4）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=6.25a+k}\\{4=2.25a+k}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{k=6.25}\end{array}\right.$，
∴y=-（x+1.5）²+6.25；
（2）令y=0，则0=-（x+1.5）²+6.25，解 得x=1或x=-4，
 故B（-4，0），
设E（0，m），在Rt△ABE中，AE²+BE²=AB²，
∴m²+1²+m²+4²=（1+4）²，
∴m=2或-2，
 I．当m=2时，求得直线BD解析式为：y=0.5x+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=0.5x+2}\\{y=-（x+1.5）^{2}+6.25}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0.5}\\{y=2.25}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴D（0.5，2.25），
Ⅱ．当m=-2时，求得直线BD解析式为：y=-0.5x-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-0.5x-2}\\{y=-（x+1.5）^{2}+6.25}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1，5}\\{y=-2.75}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴D（1.5，-2.75），
综上所述，D点坐标为（0.5，2.25）或（1.5，-2.75），
（3）△AOC绕Q旋转180得到△A?O?C?，
∴A?（2n-1，4），O?（2n，4），C?（2n，0），
 I．当△A?O?C?与抛物线在直线x=-1.5左侧的部分有两个公共点时，（2n-1＜-1.5），
C?（2n，0）与点C重合是左临界点，A?（2n-1，4）在抛物线上是右临界点，
∵y=-（x+1.5）²+6.25，
∴0=-（2n+1.5）²+6.25，（2n-1＜-1.5），
解得：n=-2，
4=-（2n-1+1.5）²+6.25，（2n-1＜-1.5），
解得：n=-1，
∴n的范围是-2＜n＜-1，
 II．当△A?O?C?与抛物线在直线x=-1.5右侧的部分有两个公共点时，（2n-1＞-1.5），
O?（2n，4）在抛物线上是左临界点，直线A?C?与抛物线唯一的公共点是右临界点，

∴4=-（2n+1.5）²+6.25，（2n-1＞-1.5），
解得：n=0，
当直线A?C?与抛物线唯一的公共点，
直线A?C?解析式为：y=-4x+8n，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x+8n}\\{y=-（x+1.5）^{2}+6.25}\end{array}\right.$，
∴x²-x+8n-4=0，
依题意：△=0，即1-32n+16=0，
解得：n=$\frac{17}{32}$，
∴n的范围是 0＜n＜$\frac{17}{32}$，
综上所述：当△A?O?E?的三条边与抛物线共有两个公共点时，n的取值范围是-2＜n＜-1，或0＜n＜$\frac{17}{32}$．

点评 本题考查了待定系数法确定函数关系式，根据函数解析式求点的坐标，旋转的性质，方程组的解法，正确的理解题意是解题的关键．