已知:抛物线C1:y=ax2经过点.抛物线C2:y=$\frac{1}{4}$x2．(1)求a的值,(2)如图1.直线y=kx分别交第一象限内的抛物线C2.C1于M.N两点．求证:MO=MN,(3)如图2.将抛物线C1向下平移经过点A(8.0).交y轴于点C.得抛物线C3．点P是抛物线C3上在A.C间的一个动点.E(4.0).记△PDE的面积为S.点P的横坐标为x． ①求S关于x的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知：抛物线C₁：y=ax²经过点（2，$\frac{1}{2}$），抛物线C₂：y=$\frac{1}{4}$x²．
（1）求a的值；
（2）如图1，直线y=kx（k＞0）分别交第一象限内的抛物线C₂，C₁于M，N两点．求证：MO=MN；
（3）如图2，将抛物线C₁向下平移经过点A（8，0），交y轴于点C，得抛物线C₃．点P是抛物线C₃上在A，C间的一个动点（含端点），D（0，-6），E（4，0），记△PDE的面积为S，点P的横坐标为x．
①求S关于x的函数关系式；
②求满足S为整数的点P的个数．

分析（1）将点（2，$\frac{1}{2}$）代入y=ax²即可得到结论；
（2）求得M（4k，4k²），N（8k，8k²），根据两点间的距离公式即可得到结论；
（3）①依题意可求出抛物线C₃的解析式为y=$\frac{1}{8}$x²-8，根据三角形的面积公式得到求得S=-$\frac{1}{4}$x²+3x+4 （0≤x≤8 ），
②由于S=-$\frac{1}{4}$x²+3x+4=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+13，于是得到在0≤x≤8 的取值范围内，S的取值为：4≤S≤13，即S可取4至13的10个整数，当S=12时，x有两个值相对应，即存在两个点P的位置使S=12，于是得到结论．

解答解：（1）将点（2，$\frac{1}{2}$）代入y=ax²，解得：a=$\frac{1}{8}$；

（2）直线y=kx（k＞0）分别交第一象限内的抛物线C₂，C₁于M，N两点，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{8}{x}^{2}}\\{y=kx}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4k}\\{{y}_{1}=4{k}^{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=kx}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=0}\\{{y}_{3}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}=8k}\\{{y}_{4}=8{k}^{2}}\end{array}\right.$，
∴M（4k，4k²），N（8k，8k²），
∴OM=$\sqrt{（4k）^{2}+（4{k}^{2}）^{2}}$=4k$\sqrt{{k}^{2}+1}$，MN=$\sqrt{（4k-8k）^{2}+（4{k}^{2}-8{k}^{2}）^{2}}$=4k$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴OM=MN；
（3）①依题意可求出抛物线C₃的解析式为y=$\frac{1}{8}$x²-8，
∴S=S_△PDO+S_△POE-S_△ODE=3x+2×（8-$\frac{1}{8}{x}^{2}$）-12
=-$\frac{1}{4}$x²+3x+4 （0≤x≤8 ），
②∵S=-$\frac{1}{4}$x²+3x+4=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+13，
在0≤x≤8 的取值范围内，S的取值为：4≤S≤13，
即S可取4至13的10个整数，
又当S=12时，x有两个值相对应，即存在两个点P的位置使S=12，
所以共有11个点P使S的值为整数．