题目内容
12．
如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，-1），点A的坐标为（-2，$\sqrt{3}$），点B的坐标为（-3，0），点C在x轴上，且点D在点A的左侧．（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD，求：
①t的值；
②∠MBD的度数；
（3）在（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值．
分析 （1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；
（2）①如图2，先根据坐标求EF的长，由EE'-FE'=EF=7，列式得：3t-2t=7，可得t的值；
②先求∠EBA=60°，则∠FBA=120°，再得∠MBF=45°，相加可得：∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；
（3）分两种情况讨论：作出距离MN和ME，
第一种情况：如图5由距离为1可知：BD为⊙M的切线，由BC是⊙M的切线，得∠MBE=30°，列式为3t+$\sqrt{3}$=2t+6，解出即可；
第二种情况：如图6，同理可得t的值．
解答 
解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E，
∵点A的坐标为（-2，$\sqrt{3}$），点B的坐标为（-3，0），
∴AE=$\sqrt{3}$，BE=3-2=1，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2，
∴菱形ABCD的周长=2×4=8；
（2）①如图2，⊙M与x轴的切点为F，BC的中点为E，
∵M（3，-1），
∴F（3，0），
∵BC=2，且E为BC的中点，
∴E（-4，0），
∴EF=7，
即EE'-FE'=EF，
∴3t-2t=7，
t=7，
②由（1）可知：BE=1，AE=$\sqrt{3}$，
∴tan∠EBA=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$，
∴∠EBA=60°，
如图4，∴∠FBA=120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FBD=$\frac{1}{2}$∠FBA=$\frac{1}{2}×120°$=60°，
∵BC是⊙M的切线，
∴MF⊥BC，
∵F是BC的中点，
∴BF=MF=1，
∴△BFM是等腰直角三角形，
∴∠MBF=45°，
∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；
（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，
第一种情况：如图5，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴∠CBD=60°，
∴∠NBE=60°，
∵点M与BD所在的直线的距离为1，
∴MN=1，
∴BD为⊙M的切线，
∵BC是⊙M的切线，
∴∠MBE=30°，
∵ME=1，
∴EB=$\sqrt{3}$，
∴3t+$\sqrt{3}$=2t+6，
t=6-$\sqrt{3}$；
第二种情况：如图6，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴∠DBC=60°，
∴∠NBE=120°，
∵点M与BD所在的直线的距离为1，
∴MN=1，
∴BD为⊙M的切线，
∵BC是⊙M的切线，
∴∠MBE=60°，
∵ME=MN=1，
∴Rt△BEM中，tan60°=$\frac{ME}{BE}$，
EB=$\frac{1}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴3t=2t+6+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
t=6+$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
综上所述，当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6-$\sqrt{3}$或6+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
点评 本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．
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（2）列出y与x的几组对应值，请直接写出m的值，m=3．
| x | … | -5 | -4 | -3 | -2 | -$\frac{3}{2}$ | -$\frac{1}{2}$ | 0 | 1 | 2 | m | 4 | 5 | … |
| y | … | $\frac{5}{4}$ | $\frac{4}{3}$ | $\frac{3}{2}$ | 2 | 3 | -1 | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{2}{3}$ | $\frac{3}{4}$ | $\frac{4}{5}$ | $\frac{5}{6}$ | … |
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