Question

12．如图，△ABC内接于⊙O，已知AB=c，BC=a，AC=b，⊙O的半径为R．
（1）求证：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R；
（2）若a=5，∠A=60°，求⊙O的半径R．

Answer 1

分析 （1）连接CO并延长交⊙O于D，连接BD，因为∠D=∠A，∠DBC=90°，CD=2R，BC=a，在Rt△BCD中，sinD=$\frac{BC}{2R}$，所以sinA=$\frac{BC}{2R}$=$\frac{a}{2R}$，可得$\frac{a}{sinA}$=2R，同理可证，$\frac{b}{sinB}$=2R，$\frac{c}{sinC}$=2R，由此即可证明．
（2））把a=5，A=60°，代入$\frac{a}{sinA}$=2R，计算即可．

解答 （1）证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接BD，
∴∠D=∠A，∠DBC=90°，CD=2R，BC=a，
在Rt△BCD中，sinD=$\frac{BC}{2R}$，
∴sinA=$\frac{BC}{2R}$=$\frac{a}{2R}$，
∴$\frac{a}{sinA}$=2R，同理可证，$\frac{b}{sinB}$=2R，$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R．

（2）∵$\frac{a}{sinA}$=2R，
∴$\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2R，
∴R=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理，直径的性质、锐角三角函数，正确的作出辅助线是解题的关键．