Question

13．阅读下面的计算过程：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$=$\frac{1×（\sqrt{5}-2）}{（\sqrt{5}+2）（\sqrt{5}-2）}$=$\sqrt{5}$-2；
…
试求：
（1）$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$的值；
（2）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（n为正整数）的值；
（3）$\frac{2}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}$+$\frac{2}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}$…

Answer 1

分析 （1）根据题意可以解答本题；
（2）根据题意可以解答本题；
（3）根据题意可以化简题目中的式子，从而可以解答本题．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\frac{1×（\sqrt{6}-\sqrt{5}）}{（\sqrt{6}+\sqrt{5}）（\sqrt{6}-\sqrt{5}）}$=$\sqrt{6}-\sqrt{5}$；
（2）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{1×（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；
（3）$\frac{2}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}$+$\frac{2}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}$
=2（$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+…+\sqrt{80}-\sqrt{79}+\sqrt{81}-\sqrt{80}$）
=2×（$\sqrt{81}-1$）
=2×（9-1）
=2×8
=16．

点评 本题考查分母有理化，解题的关键是明确分母有理化的方法．