Question

8．如图，已知直线y=-x和双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＞0），点A（m，n）（m＞0）在双曲线$y=\frac{k}{x}$上．
（1）当m=n=2时，
①直接写出k的值；
②将直线y=-x作怎样的平移能使平移后的直线与双曲线$y=\frac{k}{x}$只有一个交点．
（2）将直线y=-x绕着原点O旋转，设旋转后的直线与双曲线$y=\frac{k}{x}$交于点B（a，b）（a＞0，b＞0）和点C．设直线AB，AC分别与x轴交于D，E两点，试问：$\frac{AB}{AD}$与$\frac{AC}{AE}$的值存在怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①当m=n=2时，得出A（2，2），把点A（2，2）代入双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＞0）求出k的值即可；
②设平移后的直线解析式为y=-x+b₁，由直线和双曲线解析式组成方程组，整理可得方程：x²-b₁x+4=0，当判别式=0时，求出b₁=±4即可；
（2）分两种情况讨论：由双曲线的对称性可知，C（-a，-b），①当点A在直线BC的上方时，过A、B、C分别作y轴的垂线，垂足分别为F、G、H，则OF=n，OG=OH=b，得出FG=OF-OG=n-b，FH=OF+OH=n+b，由平行线得出比例式，即可得出结论；
②当点A在直线BC的下方时，同理可得出结论；即可得出结果．

解答 解：（1）①当m=n=2时，A（2，2），
把点A（2，2）代入双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＞0）得：k=2×2=4； 
②设平移后的直线解析式为y=-x+b₁，
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+{b_1}\\ y=\frac{k}{x}\end{array}\right.$可得，$-x+{b_1}=\frac{4}{x}$，
整理可得：x²-b₁x+4=0，
当$△={（-{b_1}）^2}-4×1×4=0$，即b₁=±4时，方程x²-b₁x+4=0有两个相等的实数根，此时直线y=-x+b₁与双曲线只有一个交点，
∴只要将直线y=-x向上或向下平移4个单位长度，所得到的直线与双曲线只有一个交点；
（2）$\frac{AC}{AE}±\frac{AB}{AD}=2$，理由如下：
分两种情况讨论：由双曲线的对称性可知，C（-a，-b）
①当点A在直线BC的上方时，如图所示：
过A、B、C分别作y轴的垂线，垂足分别为F、G、H，
则OF=n，OG=OH=b，
∴FG=OF-OG=n-b，FH=OF+OH=n+b，
∵AF∥BG∥x轴，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{FG}{FO}$=$\frac{n-b}{n}$，
∵AF∥x轴∥CH，
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{FH}{FO}$=$\frac{n+b}{n}$，
∴$\frac{AC}{AE}$+$\frac{AB}{AD}$=$\frac{n-b}{n}$+$\frac{n+b}{n}$=2；
②当点A在直线BC的下方时，
同理可求：$\frac{AB}{AD}$=$\frac{b-n}{n}$，$\frac{AC}{AE}$=$\frac{n+b}{n}$，
∴$\frac{AC}{AE}$-$\frac{AB}{AD}$=$\frac{n+b}{n}$-$\frac{b-n}{n}$=2；
综上所述，$\frac{AC}{AE}±\frac{AB}{AD}=2$．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、直线与双曲线的交点坐标、根的判别式、平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，有一定难度．