Question

16．如图，?ABCD中，AC、BD交于点O₁，作?BCD₁O₁，连结BD₁交AC于点O₂，作?BCD₂O₂，连结BD₂交AC于点O₃，…以此类推，若AC⊥AD，AD=1，∠ADC=60°，则?BCD_nO_n的面积是$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 首先由AC⊥AD，AD=1，∠ADC=60°，求得AC的长，即可求得?ABCD的面积，继而求得?BCD₁O₁，?BCD₂O₂的面积，则可得到规律：?BCD_nO_n的面积是$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$．

解答 解：∵AC⊥AD，AD=1，∠ADC=60°，
∴∠ACD=30°，
∴CD=2AD=2，
∴AC=$\sqrt{C{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_?ABCD=AD•AC=$\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O₁C=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_?BCD1O1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，S_?BCD2O2=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴S_?BCDnOn=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{\\;n}}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质，属于规律性题目．注意观察归纳可得到规律：?BCD_nO_n的面积是$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$．