Question

【题目】顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，利用黄金三角形求的准确值.

Answer 1

【答案】

【解析】

根据黄金三角形的顶角为36°，利用等腰三角形的性质求证∠GBC=∠BAC，∠C=∠C，从而得到△BGC∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求其底与一腰之比即 ，作出黄金三角形顶角的平分线，解得等腰三角形三线合一的性质即可得出sin18°的值

解：如图所示：做MN垂直平分AB交AC于点G，作∠BAC的平分线AD，

∵△ABC是黄金三角形，

∴∠BAC=36°，AB=AC，

∴AG=BG，∠GBA=∠BAG=36°，∠ABC=∠C=72°

∴∠GBC=36°，∠BGC=72°

设BC=x，AB=AC=y，

∴AG=BG=BC=x．

∵∠GBC=∠BAC，∠C=∠C，

∴△BGC∽△ABC，

∴ ，即，

整理，得x2+xy-y2=0，

解得

因为x、y均为正数，所以

即 ，

作∠BAC的平分线AD，

则∠BAD=∠CAD=∠BAC=18°，AD⊥BC，BD=CD=BC，

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，

∴sin18°=sin∠BAD=．