Question

4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，以BC为直径的半圆交AB于点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB于点E．
（1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说明理由；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

Answer 1

分析 （1）切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，满足这两个条件，则与圆相切；
（2）先根据条件求直角三角形的各边长和锐角∠A的度数，再利用差求阴影部分的面积．

解答 解：（1）相切，理由是：
∵∠ACB=90°，BC为半圆的直径，
∴以BC为直径的圆与AC所在的直线相切；
（2）在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴∠A=90°-30°=60°，
AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_半圆-（S_△ABC-S_扇形AEC），
=$\frac{1}{2}$π$•（\frac{2\sqrt{3}}{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}$×2×$2\sqrt{3}$+$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$，
=$\frac{13}{6}π$-2$\sqrt{3}$，
答：图中阴影部分的面积是$\frac{13}{6}π$-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系、勾股定理及扇形的面积，属于常考题型，难度不大；熟练掌握直线和圆的位置关系，在求阴影部分面积时，要注意利用和或差来求解．