Question

已知，一张矩形纸片ABCD，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．
（1）猜猜四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的猜想；
（2）若AB=9cm，BC=3cm，求折痕EF的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：（1）由矩形的性质得AB∥CD，根据平行线的性质得∠AFE=∠CEF，再根据折叠的性质得AF=CF，∠AFE=∠CFE，则∠CFE=∠CEF，所以CE=CF，于是得到CE=AF，加上CE∥AF，可判断四边形AFCE为平行四边形，由于AF=CF所以可判断四边形AFCE为菱形；
（2）连结AC，在Rt△ABC利用勾股定理计算出AC=3

10

，设BF=xcm，则AF=CF=（9-x）cm，在Rt△BFC中，根据勾股定理得到x²+3²=（9-x）²，解得x=4，则AF=5cm，然后利用菱形的面积公式得到

1

2

EF•AC=AF•BC，于是可计算出EF=

10

cm．

解答：解：（1）四边形AECF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AFE=∠CEF，
∵矩形ABCD沿EF折叠，顶点A和C叠合在一起，
∴AF=CF，∠AFE=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF，
∴CE=AF，
而CE∥AF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵AF=CF，
∴四边形AFCE为菱形；

（2）连结AC，如图，
在Rt△ABC中，AB=9cm，BC=3cm，
∴AC=

AB2+BC2

=3

10

cm，
设BF=xcm，则AF=CF=（9-x）cm，
在Rt△BFC中，
∵BF²+BC²=CF²，
∴x²+3²=（9-x）²，解得x=4，
∴AF=5cm，
∵S_菱形AFCE=

1

2

EF•AC=AF•BC，
∴EF=

2×5×3

3 10

=

10

（cm）．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质、菱形的判定方法和勾股定理．