Question

5．如图1，在Rt△ABC中，D是边AC上一点（不与端点A，C重合），过点D作DE⊥AB于点E，将△ADE绕点A以每秒30°的速度逆时针方向旋转，运动时间为t（0≤t≤12）秒，取BD的中点M，连接CM，CE．
（1）如图2，若∠ABC=60°，当∠MCE=$\frac{1}{2}$∠CAD，0≤t≤6时，直接写出t的值为2s；
（2）如图3，若∠ABC=α，用含α的式子表示∠MCE的度数，并说明理由；
（3）若∠ABC=60°，AD=2，AC=3，当线段AD绕点A逆时针方向旋转一周的过程中，写出线段CM长度的最大值和最小值，并指出相应t的值（不要求证明）．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长CM到H，使得MH=CM，连接DH，EH．首先证明△EAC∽△EDH，推出∠ECH=30°，∠DAC=30°，由此即可解决问题；
（2）结论：∠ECM=90°-α，如图2中，延长CM到H，使得MH=CM，连接DH，EH．证明方法类似（1）；
（3）如图3中，取AB的中点H，连接CH、HM．易知CH=$\sqrt{3}$，HM=1，在△HCM中，利用三边关系即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，延长CM到H，使得MH=CM，连接DH，EH．

∵∠ABC=∠ADE=60°，∠ACB=∠AED=90°
∴∠1=∠2=30°，
∴∠EAC=60°+∠4，
∵DM=BM∠DMH=∠CMB，MH=MC，
∴△DMH≌△BMC，
∴∠HDM=∠CBM，DH=BC，
∴∠EDH=360°-60°-∠ADB-∠HDM=300°-（180°-∠4-∠3）-∠3-60°=60°+∠4，
∴∠EAC=∠EDH，
∵$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AC}{DH}$，
∴△EAC∽△EDH，
∴$\frac{EC}{EH}$=$\frac{EA}{ED}$=$\sqrt{3}$，∠AEC=∠DEH，
∴∠CEH=∠AED=90°，
∴tan∠ECH=$\frac{EH}{EC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ECH=30°，
∵∠ECH=$\frac{1}{2}$∠DAC，
∴∠DAB=30°，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=90°，
∴t=$\frac{60}{30}$=2s．
故答案为2s．

（2）结论：∠ECM=90°-α，
理由：如图2中，延长CM到H，使得MH=CM，连接DH，EH．

∵∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED=90°
∴∠1=∠2，
∴∠EAC=2∠1+∠4，
∵DM=BM∠DMH=∠CMB，MH=MC，
∴△DMH≌△BMC，
∴∠HDM=∠CBM，DH=BC，
∴∠EDH=360°-∠ADE-∠ADB-∠HDM=360°-（90°-∠1）-（180°-∠4-∠3）-∠3-（90°-∠1）=2∠1+∠4，
∴∠EAC=∠EDH，
∵$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AC}{BC}$=tanα，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AC}{DH}$，
∴△EAC∽△EDH，
∴$\frac{EC}{EH}$=$\frac{EA}{ED}$=tanα，∠AEC=∠DEH，
∴∠CEH=∠AED=90°，
∴tan∠EHC=$\frac{EC}{EH}$=tanα，
∴∠EHC=α，
∴∠ECM=90°-α，

（3）如图3中，取AB的中点H，连接CH、HM．

在Rt△ABC中，∵AC=3，∠ABC=60°，
∴sin60°=$\frac{AC}{AB}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵AH=HB，
∴CH=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∵AH=HB，DM=MB，
∴HM=$\frac{1}{2}$AD=1，
∵CH+HM≥CM≥CH-HM，
∴1+$\sqrt{3}$≥CM≥$\sqrt{3}$-1，
∴CM的最大值为1+$\sqrt{3}$．CM的最小值为$\sqrt{3}$-1．
当CM最大时，t=$\frac{150}{30}$=5s，
当CM的值最小时，t=$\frac{330}{30}$=11s．

点评 本题考查几何变换综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、三角形三边关系、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考压轴题．