Question

3．在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2，点E、F分别在边AB、AC上，连接EF，将△AEF沿EF翻折，使A落在BC上的D处，FD⊥BC，则ED=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$．

Answer 1

分析 在Rt△ABC中，由勾股定理可知AC=$\sqrt{5}$，然后再证明AB∥FD，从而可知∠AEF=∠EFD，然后由折叠的性质可知：∠AEF=∠DEF，AE=DE，从而可证得AE=DF．
所以四边形AEDF为平行四边形，故此△BDE∽△BAC，由相似三角形的性质可知$\frac{BE}{AB}=\frac{ED}{AC}$，从而可求得DE=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$．

解答 解：如图所示：

在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵FD⊥BC，
∴∠FDC=90°．
∴∠FDC=∠B．
∴AB∥FD．
∴∠AEF=∠EFD．
由折叠的性质可知：∠AEF=∠DEF，AE=DE．
∴∠EFD=∠DEF．
∴ED=DF．
∴AE=DF．
∴四边形AEDF为平行四边形．
∴AF∥ED．
∴△BDE∽△BAC．
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{ED}{AC}$，即$\frac{1-x}{1}=\frac{x}{\sqrt{5}}$．
解得：x=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$．
∴DE=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$．
故答案为：$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题主要考查的是折叠的性质、勾股定理、相似三角形、平行四边形的性质和判定的综合应用，证得四边形AEDF为平行四边形，从而得到△BDE∽△BAC是解题的关键..