Question

19．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中，x与y的部分对应值如下表：

x	-3	-2	-1	0
y	0	-3	-4	-3

下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③-4是方程ax²+（b-4）x+c=0的一个根；
④当-1＜x＜0时，ax²+（b-1）x+c+3＞0．其中正确结论的个数为（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 利用待定系数法求出二次函数解析式为y=-x²+3x+3，然后判断出①正确，②错误，再根据一元二次方程的解法和二次函数与不等式的关系判定③④正确．

解答 解：∵x=-3时y=0，x=0时，y=-3，x=-1时，y=-4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{c=-3}\\{a-b+c=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴y=x²+2x-3，
∴ac=1×（-3）=-3＜0，故①正确；
对称轴为直线x=-$\frac{2}{2×1}$=-1，
所以，当x＞-1时，y随x的增大而增大，故②错误；
方程ax²+（b-4）x+c=0可化为x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以-4是方程ax²+（b-4）x+c=0的一个根，错误，故③错误；
-1＜x＜0时，ax²+（b-1）x+c+3＞0正确，故④正确；
综上所述，结论正确的是①④．
故选C．

点评 本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．