Question

6．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：
①2a-b=0；
②9a+3b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax²+bx+c+3=0有两个相等实数根；
④8a+c＜0．
其中正确的个数是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①根据抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1，可得出2a-b=4a≠0，结论①不正确；②根据二次函数的对称性，可得出当x=3时，y=ax²+bx+c=9a+3b+c＜0，结论②正确；③将二次y=ax²+bx+c图象沿y轴正方向平移3个单位长度，可得出二次函数y=ax²+bx+c+3的图象与x轴只有一个交点，即关于x的一元二次方程ax²+bx+c+3=0有两个相等实数根，结论③正确；④将x=-2代入二次函数解析式中，可得出y=4a-2b+c＞0，再结合b=-2a即可得出8a+c＞0，结论④不正确．综上即可得出结论．

解答 解：①∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a，
∴2a-b=4a≠0，结论①不正确；
②∵抛物线的对称轴为x=1，当x=-1时，y=ax²+bx+c＜0，
∴当x=3时，y=ax²+bx+c=9a+3b+c＜0，结论②正确；
③∵二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点坐标为（1，-3），
∴将二次函数y=ax²+bx+c图象沿y轴正方向平移3个单位长度得到y=ax²+bx+c+3，且二次函数y=ax²+bx+c+3的图象与x轴只有一个交点，
∴关于x的一元二次方程ax²+bx+c+3=0有两个相等实数根，结论③正确；
④当x=-2时，y=ax²+bx+c=4a-2b+c＞0，
∵b=-2a，
∴4a-2×（-2a）+c=8a+c＞0，结论④不正确．
综上所述：正确的结论有②③．
故选A．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．