Question

正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，AD．
（1）求证：CD²=AC²-AC•CD．
（2）求

CD

AC

的值．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：（1）连接BD，先根据SAS定理得出△ABC≌△BCD故可得出AC=BD，∠BAC=∠BCA=∠CBD=∠CDB，再由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△BFC，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由（1）知∠CDF=∠CAD=36°，AF=CD，故△CDF∽△CAD，由△ACD是黄金三角形，故可得出结论．

解答：（1）证明：连接BD，
∵是正五边形ABCDE，
∴∠ABC=∠BCD=108°，AB=BC=CD．
在△ABC△BCD中，

AB=BC ∠ABC=∠BCD BC=CD

，
∴△ABC≌△BCD（SAS）
∴AC=BD，∠BAC=∠BCA=∠CBD=∠CDB=36°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=108°-36°=72°，
∠AFB=∠ACB+∠CBD=36°+36°=72°，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF．
∵∠BAC=∠FBC=36°，∠ACB=∠BCF，
∴△ABC∽△BFC，
∴

BC

CF

=

AC

BC

，
∴BC²=AC×CF．
∵BC=CD，CF=AC-AF=AC-CD，
∴CD²=AC×（AC-CD）=AC²-AC×CD．

（2）∵由（1）知∠CDF=∠CAD=36°，AF=CD，
∴△CDF∽△CAD，
∴

CD

AC

=

CF

CD

，即CD²=AC•CF，
∴△ACD是黄金三角形，
∴

CD

AC

=

5 -1

2

．

点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正五边形的性质及黄金三角形的定义是解答此题的关键．