Question

7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
（3）在（2）的条件下，求$\widehat{BD}$的长．

Answer 1

分析 （1）设⊙O的半径为r，根据垂径定理，由AB⊥CD得到DE=$\frac{1}{2}$CD=8，在Rt△ODE中，利用勾股定理得（r-4）²+8²=r²，解得r=10，所以⊙O的直径为20；
（2）由OM=OB得到∠B=∠M，根据三角形外角性质得∠DOB=∠B+∠M=2∠B，则2∠B+∠D=90°，加上∠B=∠D，所以2∠D+∠D=90°，然后解方程即可得∠D的度数；
（3）根据弧长的计算公式即可得到结论．

解答 解：（1）设⊙O的半径为r，
∵AB⊥CD，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×16=8，
在Rt△ODE中，OE=OB-BE=r-4，OD=r，
∵OE²+DE²=OD²，
∴（r-4）²+8²=r²，解得r=10，
∴⊙O的直径为20；
（2）∵OM=OB，
∴∠B=∠M，
∴∠DOB=∠B+∠M=2∠B，
∵∠DOE+∠D=90°，
∴2∠B+∠D=90°，
∵∠B=∠D，
∴2∠D+∠D=90°，
∴∠D=30°；
（3）∵∠D=∠M=30°，
∴∠BOD=60°，
∵BO=10，
∴$\widehat{BD}$的长=$\frac{60π•10}{180}$=$\frac{10}{3}$π．

点评 题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．