Question

如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，则EM的长为

 

cm．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：根据矩形的性质得CD=AB=6，AD=BC=8，AD∥BC，由平行线的性质得∠ADB=∠CBD，再利用折叠的性质得到∠CBD=∠C′BD，BC′=BC=8，DC′=DC=6，
则∠GBD=∠GDB，所以GB=GD，设DG=x，则BG=x，AG=8-x，在Rt△ABG中，根据勾股定理得6²+（8-x）²=x²，解得x=

25

4

，则GC′=BC′-BG=

7

4

，然后再根据折叠的性质得EN垂直平分AD，所以∠EMD=90°，DM=

1

2

AD=4，接着证明Rt△DEM∽Rt△DGC′，利用相似比计算EM的长．

解答：解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=6，AD=BC=8，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G，
∴∠CBD=∠C′BD，BC′=BC=8，DC′=DC=6，
∴∠GBD=∠GDB，
∴GB=GD，
设DG=x，则BG=x，AG=8-x，
在Rt△ABG中，
∵AB²+AG²=BG²，
∴6²+（8-x）²=x²，解得x=

25

4

，
∴GC′=BC′-BG=8-

25

4

=

7

4

，
∵折叠矩形ABCD一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，
∴EN垂直平分AD，
∴∠EMD=90°，DM=

1

2

AD=4，
∵∠EDM=∠GDC′，
∴Rt△DEM∽Rt△DGC′，
∴

EM

GC′

=

DM

DC′

，即

EM

7 4

=

4

6

，
∴EM=

7

6

．
故答案为

7

6

．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质勾股定理和相似三角形的判定与性质．