Question

如图，在Rt△ABC中，AC=4，∠ACB=90°，∠B=30°．AD平分∠CAB交CB于D，点E是斜边AB上的一点，连接DE，当△ADE为直角三角形时，BE的长为

 

．

Answer 1

考点：角平分线的性质,含30度角的直角三角形,勾股定理

专题：分类讨论

分析：求出∠CAD=30°，然后解直角三角形求出AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB，再分①∠ADE=90°时，解直角三角形求出AE，然后根据BE=AB-AE计算即可得解；②∠AED=90°时，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=AC，然后根据BE=AB-AE计算即可得解．

解答：解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=

1

2

（90°-30°）=30°，
∴AD=AC÷cos30°=4÷

3

2

=

8 3

3

，
∵∠B=30°，
∴AB=2AC=2×4=8，
①∠ADE=90°时，AE=AD÷cos30°=

8 3

3

÷

3

2

=

16

3

，
所以，BE=AB-AE=8-

16

3

=

8

3

；
②∠AED=90°时，
∵∠ACB=90°，AD平分∠CAB，
∴AE=AC=4，
∴BE=AB-AE=8-4=4，
综上所述，BE的长为

8

3

或4．
故答案为：

8

3

或4．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解直角三角形，熟记各性质是解题的关键，难点在于分情况讨论．