Question

20．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论中：①abc＞0；②2a+b=0；③b²-4ac＜0；④4a+2b+c＞0；⑤3b＜2c，其中正确的个数（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 由抛物线开口向上，得到a＞0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b＜0，又抛物线与y轴正半轴相交，得到c＞0，可得出abc＜0，选项①错误；最后由对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b²-4ac大于0，故③错误；由x=2时对应的函数值＞0，将x=2代入抛物线解析式可得出4a+2b+c大于0，得到选项④正确；最后由对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得到a=-$\frac{1}{2}$b，由x=-1时对应的函数值小于0，将x=-1代入抛物线解析式可得出y=a-b+c＜0，即可得出3b＜2c，即可得到⑤正确．

解答 解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵-$\frac{b}{2a}$＞0，∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，①错误；
∵对称轴为直线x=1，∴-$\frac{b}{2a}$=1，即2a+b=0，②正确，
∵抛物线与x轴有2个交点，∴b²-4ac＞0，③错误；
∵对称轴为直线x=1，
∴x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，④正确；
∵2a+b=0，∴a=-$\frac{1}{2}$b，
∵x=-1时，y=a-b+c＞0，
∴-$\frac{1}{2}$b-b+c＞0，
∴3b＜2c，故⑤正确
则其中正确的有②④⑤．
故选B．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b²-4ac的符号，此外还要注意x=1，-1，2及-2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．