Question

15．已知△ACE中，AC=CE，F、D是AE上的点，CF=CD，AB∥CE交CD的延长线于B．
（1）求证：△ACF≌△ECD；
（2）求证：$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}$．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠CAF=∠CED，∠CFD=∠CDF，证出∠CFA=∠CDE，由AAS证明△ACF≌△ECD即可；
（2）由平行线得出△ECD∽△ABD，得出对应边成比例，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AC=CE，
∴∠CAF=∠CED，
∵CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF，
∴∠CFA=∠CDE，
在△ACF≌△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠CED}&{\;}\\{∠CFA=∠CDE}&{\;}\\{CF=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ECD（AAS）
（2）证明：∵AB∥CE，
∴△ECD∽△ABD，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{EC}{AB}$，
∵AC=CE，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．