题目内容
在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，三角板的两直角边分别交AB、BC的延长线于E、F两点，如图1，
（1）求证：△EOB≌△FOC；
（2）将等腰直角三角板的直角顶点绕点O顺时针旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC于E、F两点，如图2，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，直接写出△OFC是等腰直角三角形时BF的长；若不能，请说明理由；
（3）若将三角板的直角顶点移动到点P处，两直角边分别交AB、BC于E、F两点，如图3，若tan∠PEF=
时，请求出PA的长．
（1）求证：△EOB≌△FOC；
（2）将等腰直角三角板的直角顶点绕点O顺时针旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC于E、F两点，如图2，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，直接写出△OFC是等腰直角三角形时BF的长；若不能，请说明理由；
（3）若将三角板的直角顶点移动到点P处，两直角边分别交AB、BC于E、F两点，如图3，若tan∠PEF=
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考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形
专题：
分析：（1）由全等三角形的判定定理ASA证得：△EOB≌△FOC；
（2）需要分类讨论：CF=OF和OF=OC两种情况下的BF的长度；
（3）如图，过点P作PM⊥AB，垂足为M，作PN⊥BC，垂足为N．通过证明△PME∽△PNF得到：PM：PN=PE：PF；又由△PAM∽△PCN得到：PM：PN=PA：PC，根据锐角三角函数的定义推知：PE：PF=1：3、PA：PC=1：3．故PA=
AC=
．
（2）需要分类讨论：CF=OF和OF=OC两种情况下的BF的长度；
（3）如图，过点P作PM⊥AB，垂足为M，作PN⊥BC，垂足为N．通过证明△PME∽△PNF得到：PM：PN=PE：PF；又由△PAM∽△PCN得到：PM：PN=PA：PC，根据锐角三角函数的定义推知：PE：PF=1：3、PA：PC=1：3．故PA=
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解答：
解：（1）如图1，∵∠EOB+∠COE=∠COF+∠COE=90°，
∴∠EOB=∠COF．
在△EOB和△FOC中，
∴△EOB≌△FOC（ASA）
（2）如图2，△OFC能成为等腰直角三角形，包括：
当F是BC的中点时，CF=OF，BF=
；
当B与F重合时，OF=OC，BF=0；
（3）如图3，过点P作PM⊥AB，垂足为M，作PN⊥BC，垂足为N，
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，
∴∠EPM=∠FPN，
∵∠EMP=∠FNP=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴PM：PN=PE：PF，
∵△APM和△CPN均为等腰直角三角形
∴△PAM∽△PCN，
∴PM：PN=PA：PC，
∵tan∠PFE=
∴PE：PF=1：3
∴PA：PC=1：3
∴PA=
AC=
．
解：（1）如图1，∵∠EOB+∠COE=∠COF+∠COE=90°，∴∠EOB=∠COF．
在△EOB和△FOC中，
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∴△EOB≌△FOC（ASA）
（2）如图2，△OFC能成为等腰直角三角形，包括：
当F是BC的中点时，CF=OF，BF=
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当B与F重合时，OF=OC，BF=0；
（3）如图3，过点P作PM⊥AB，垂足为M，作PN⊥BC，垂足为N，
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，
∴∠EPM=∠FPN，
∵∠EMP=∠FNP=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴PM：PN=PE：PF，
∵△APM和△CPN均为等腰直角三角形
∴△PAM∽△PCN，
∴PM：PN=PA：PC，
∵tan∠PFE=
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∴PE：PF=1：3
∴PA：PC=1：3
∴PA=
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点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质．要注意的是（2）中，要根据等腰三角形的底边不同进行分类求解．
练习册系列答案
夺冠金卷全能练考系列答案
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