Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O．

(1)连接AC、BD，若∠BAC＝∠CAD＝60°，则△DBC的形状为　 　．

(2)在(1)的条件下，试探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)若，∠DAB＝∠ABC＝90°，点P为上的一动点，连接PA，PB，PD，求证：PD＝PB+PA．

Answer 1

【答案】(1)等边三角形；(2)AC＝AB+AD，理由见解析；(3)证明见解析.

【解析】

(1)利用等弧对等角，可以判断出△DBC是等边三角形；

(2)如图1，在AC上截取AE＝AD，连接DE，利用等边△DBC以及等边对等角的关系，可以证得△DAB≌△DEC(SAS)，可以证明AC＝AB+AD；

（3）如图2，根据已知条件易证得四边形ABCD是正方形，在PD上取DE＝BP，也同样可证得△DAE≌△BAP(SAS)，可证得PAE为等腰直角三角形，所以PE＝PA.

(1)∵∠BAC＝∠BDC＝60°，∠CAD＝∠CBD＝60°，

∴∠BDC＝∠CBD＝∠BCD＝60°，

∴△DBC是等边三角形．

故答案为:等边三角形．

(2)结论：AC＝AB+AD．

理由：如图1，在AC上截取AE＝AD，连接DE．

∵∠DAE＝60°，AD＝AE，

∴△ADE是等边三角形，

∴AD＝DE，∠ADE＝∠BDC＝60°，

∴∠ADB＝∠EDC，

∵DA＝DE，DB＝DC，

∴△DAB≌△DEC(SAS)，

∴EC＝AB，

∴DE＝AD

∴AC＝AE+EC＝AD+AB．

(3)如图2中，在PD上取DE＝BP，

∵∠DAB＝∠ABC＝90°，

∴∠BCD＝∠ADC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∵，

∴AB＝BC，

∴四边形ABCD是正方形，

∴DA＝BD，∠ADE＝∠ABF，DE＝BP，

∴△DAE≌△BAP(SAS)，

∴AE＝AP，∠DAE＝∠BAP，

∴∠PAE＝∠BAD＝90°，

∴PE＝PA，

∴PD﹣PB＝PD＝DE＝PE＝PA．