Question

8．如图所示，一根长3米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上．设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑．且B端沿地面向右滑行．
（1）试判断木棍滑动的过程中，点P到点0的距离是否变化，请简述理由．
（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=$\frac{1}{2}$AB=a，即可得出答案；
（2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大．

解答 解：（1）在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，
∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，
∴OP=$\frac{1}{2}$AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；
（2）如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP，故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大，此时，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•h=$\frac{1}{2}$×2a×a=a²．
所以△AOB的最大面积为a²．

点评 此题利用了在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；同时理解△AOB的面积什么情况最大是解决本题的关键．