Question

4．在平面直角坐标系中，点A、B、C、D是坐标轴上的点且点C坐标是（0，-1），AB=5，点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界），已知OA=OD=4，则a的取值范围是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据勾股定理即可得出OB的长度，由此可得出点B的坐标，由OA、OD的长度可得出点A、D的坐标，根据点A、D、B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AD、BC的解析式，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组即可求出其交点的坐标，再根据点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界）结合点B以及交点的横坐标即可得出结论．

解答 解：∵AB=5，OA=4，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=3，
∴点B（-3，0）．
∵OA=OD=4，
∴点A（0，4），点D（4，0）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（0，4）、D（4，0）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=-x+4；
设直线BC的解析式为y=mx+n，
将B（-3，0）、C（0，-1）代入y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{3}}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-1．
联立直线AD、BC的解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=-\frac{1}{3}x-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{2}}\\{y=-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AD、BC的交点坐标为（$\frac{15}{2}$，-$\frac{7}{2}$）．
∵点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界），
∴-3＜a＜$\frac{15}{2}$．
故选D．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题、在数轴上表示不等式的解集、待定系数法求一次函数解析式以及解二元一次方程组，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．