Question

如图，AD∥BC，且DB平分∠ADC
（1）求证：DC=BC；
（2）如果∠C：∠ADC=1：2，求证：△CDB是等边三角形．

Answer 1

考点：等边三角形的判定,平行线的性质

专题：证明题

分析：（1）根据平行线的性质求得∠ADB=∠DBC，已知∠ADB=∠BDC，从而求得∠DBC=∠BDC，根据等角对等边即可证得；
（2）由已知可得∠BDC：∠ADC=1：2，根据∠C：∠ADC=1：2，可得∠BDC=∠C，得出BD=BC，结合（1）即可证得结论．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴∠DBC=∠BDC，
∴DC=BC．
（2）∵∠ADB=∠BDC，
∴∠BDC：∠ADC=1：2，
∵∠C：∠ADC=1：2，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
由（1）可知DC=BC，
∴BD=BC=CD，
∴△CDB是等边三角形．

点评：本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．