Question

顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，欲使四边形EFGH为正方形，则四边形ABCD的对角线必须满足的条件是

 

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Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：由于四边形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中点，易知GF是△ACD的中位线，于是GF∥AC，GF=

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AC，同理可得IG∥BD，IG=

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BD，易求AC=BD，又由于GF∥AC，∠IGF=90°，利用平行线性质可得∠IHO=90°，而IG∥BD，易证∠BOC=90°，即AC⊥BD，从而可证四边形ABCD的对角线互相垂直且相等．

解答：：解：如右图所示，四边形ABCD的各边中点分别是I、E、F、G，且四边形EFGI是正方形，
∵四边形EFGI是正方形，
∴∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，
又∵G、F是AD、CD中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF∥AC，GF=

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AC，
同理有IG∥BD，IG=

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BD，
∴

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2

AC=

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2

BD，
即AC=BD，
∵GF∥AC，∠IGF=90°，
∴∠IHO=90°，
又∵IG∥BD，
∴∠BOC=90°，
即AC⊥BD，
故四边形ABCD的对角线互相垂直且相等．
故答案为：对角线互相垂直且相等．

点评：本题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质．解题的关键是连接AC、BD，构造平行线．