Question

18．已知关于x的一元二次方程x²+2x+2m-1=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x₁和x₂，求代数式x₁•x₂-x₁-x₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=2²-4（2m-1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到得x₁+x₂=-2，x₁x₂=2m-1，再把要求的式子进行变形，即可得出答案．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+2x+2m-1=0有实数根，
∴△=2²-4（2m-1）≥0，
∴m≤1，
∴m的取值范围是m≤1；

（2）∵x₁+x₂=-2，x₁x₂=2m-1，
∴x₁•x₂-x₁-x₂=x₁•x₂-（x_1⁺x₂）=2m-1+2=2m+1，
∴代数式x₁•x₂-x₁-x₂的最大值是3．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．