Question

1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，且AD=AB．
（1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE+AF=AD
（2）如图2，如果∠EDF=60°，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，再证出∠ADE=∠ADF=90°-60°=30°，由含30角的直角三角形的性质得出AE=$\frac{1}{2}$AD，AF=$\frac{1}{2}$AD，即可得出结论；
（2）连接BD，证明△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠ABD=∠DAC，得出∠EDB=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠ADE=∠ADF=90°-60°=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，AF=$\frac{1}{2}$AD，
∴AE+AF=$\frac{1}{2}$AD+$\frac{1}{2}$AD=AD；
（2）解：线段AE，AF，AD之间的数量关系为：AE+AF=AD，理由如下：
连接BD，如图所示：
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，
∵∠DAC=60°，
∴∠ABD=∠DAC，
∵∠EDB+∠EDA=∠EDA+∠ADF=60°，
∴∠EDB=∠ADF，
在△BDE与△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠DAC}\\{AD=BD}\\{∠EDB=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF，
∵AE+BE=AD，
∴AE+AF=AD．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．