Question

1．如图，在正方形ABCD中，AB=6，E为AD上一点，EF⊥BC交BC于点F，BF=2．点P从点A出发以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿AC方向运动，点Q从点F出发以每秒2个单位长度的速度沿射线FE方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，得到矩形PMBN．以点Q为直角顶点向下作等腰Rt△QGH，且斜边GH∥BC，GH=QF．设运动时间为t（单位：秒）．
（1）当t=1时，点G落在PN线段上；当t=2时，GH=PN；
（2）当△QGH和矩形PMBN有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（3）在P、Q两点的运动过程中，是否存在某一时刻使△MPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）点P从点A出发以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿AC方向运动，则P每秒1个单位长度的速度向右（下）运动，据此即可求解；
（2）求出G到达AB，和PQ重合时t的值，则可以分成不同情况进行讨论，根据阴影部分的面积可以化成几个直角三角形的面积的和、差即可求解；
（3）根据（2）中分成的情况，分情况进行讨论，从而列方程求解．

解答 解：（1）∵点P从点A出发以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿AC方向运动，
∴P每秒1个单位长度的速度向右运动，
∵GH=QF=2t，
∴GK=t，
则点G落在PN线段上时，t+t=2，
解得：t=1；
PN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t）=6-t．
则当6-t=2t，即t=2时，GH=PH．
故答案是：1，2；
（2）当t=2时，P移动到EF上，此时P．H和Q重合．
则当1＜t≤2时，如图1，重合部分是等腰直角三角形，则GW=t+t-2=2t-2，
S=$\frac{1}{2}$（2t-2）²，即S=2（t-1）²；
当2＜t≤$\frac{8}{3}$时，如图2，
S_△QTH=$\frac{1}{2}$×2t•t=t²，
GK=t-2，则S_△GRT=$\frac{1}{2}$（t-2）²；
JH=2t-2-（t-2）=t，则S_△HJY=$\frac{1}{2}$t²；
S_△QSZ=$\frac{1}{2}$（3t-6）2=$\frac{9}{2}$（t-2）2，
PZ=t-2-（3t-6）=4-2t，
则S_△PZY=$\frac{1}{2}$（4-2t）2=2（2-t）²，
则S=t²-$\frac{1}{2}$（t-2）²-$\frac{1}{2}$t²-2（2-t）²=10t-10；
当$\frac{8}{3}$＜t＜3时，如图3．

（3）在图1中，即当1＜t≤2时，若△MPQ是等腰三角形，则有PM=PQ，
PM=t，PQ=$\sqrt{（2-t）^{2}+（6-t-2t）^{2}}$=$\sqrt{10}$（2-t），
则t=$\sqrt{10}$（2-t），解得t=$\frac{10-\sqrt{10}}{3}$；
当2＜t＜3，不能构成等腰三角形．
总之，t=$\frac{10-\sqrt{10}}{3}$

点评 本题考查了图形的移动，注意到点P从点A出发以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿AC方向运动，则P每秒1个单位长度的速度向右（下）运动，正确进行讨论是关键．