Question

（1）问题情境：
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，借助“数形关系”利用面积法进行证明，而以刘徽的“青朱出入图”为代表的“无字证明”也颇为神奇，证明不需用任何数学符号和文字，整个证明单靠移动几块图形而得出．
如图1和2，将4个全等的直角三角形拼成边长为（a+b）的正方形，使中间留下一个边长c的空白正方形，画出边长为（a+b）正方形，在移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a和b的两个空白正方形．则图1和图2中的白色部分面积必定相等，即

 

；
（2）尝试证明：实际上只需图2的“一半”即可用“数形关系”和面积法证明，美国总统伽菲尔德在1876年利用图3证明了勾股定理，请你来试一试，借助图3完成证明：
（3）问题拓展：已知Rt△ABC的两直角边分别为a，b，斜边为c，求证：

a+b

c

≤

2

．

Answer 1

考点：勾股定理的证明

专题：

分析：（1）结合图形可知得到c²=a²+b²；
（2）可以利用梯形减去两个黑色直角三角形的面积，整理可得到c²=a²+b²，可证得结论；
（3）可把不等式两边平方，再结合勾股定理可证得．

解答：（1）解：在图1中，白色部分为边为c的正方形，其面积为c²，
在图2中，白色部分为边长分别为a和b的两个正方形，其面积和为a²+b²，
而a、b、c是直角三角形的三边，所以有c²=a²+b²，
故答案为：c²=a²+b²；
（2）证明：∵S_白三角形=S_梯形-2S_黑三角形，
∴

1

2

c²=

1

2

（a+b）（a+b）-2×

1

2

ab，
即c²=a²+b²；
（3）证明：∵0≤（a-b）²，
∴2ab≤a²+b²，
∴a²+b²+2ab≤2（a²+b²），
∵a²+b²=c²，
∴（a+b）²≤2c²，
∴(

a+b

c

)2≤2，
∴

a+b

c

≤

2

．

点评：本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用．