Question

19．如图（1），直线AB与x轴负半轴、y轴的正半轴分别交于A、B、OA、OB的长分别为a、b，且满足a²-2ab+b²=0．
（1）判断△AOB的形状；
（2）如图（2）过坐标原点作直线OQ交直线AB于第二象限于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ、BN⊥OQ，若AM=7，BN=4，求MN的长；
（3）如图（3），E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角三角形ADE，P为BE的中点，延长DP至F，使PF=DP，连结PO，BF，试问DF、PO是否存在确定的位置关系和数量关系？写出你的结论并证明．

Answer 1

分析 （1）求出a=b，即可得出答案；
（2）求出∠AMO=∠ONB=90°，∠MAO=∠BON，根据AAS推出△AMO≌△ONB，根据全等得出ON=AM=7，OM=BN=4，即可求出答案；
（3）连接OD，OF，求出△BPF≌△EPD，根据全等得出BF=ED，∠FBP=∠DEP，求出BF=AD，∠FBO=∠DAO=90°，根据SAS推出△FBO≌△DAO，求出∠FOB=∠DOA，OD=OF，求出△DOF是等腰直角三角形，即可得出答案．

解答 （1）解：△AOB是等腰直角三角形，
理由是：∵a²-2ab+b²=0
（a-b）²=0，
∴a=b，
∴OA=OB
又∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形；

（2）解：∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠ONB=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
又∵∠MAO+∠MOA=90°，
∴∠MAO=∠BON，
在△AMO和△ONB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAO=∠BON}\\{∠AMO=∠ONB}\\{AO=BO}\end{array}\right.$
∴△AMO≌△ONB（AAS），
∴ON=AM=7，OM=BN=4，
∴MN=ON-OM=7-4=3；

（3）OP=$\frac{1}{2}$DF且OP⊥DF，
证明：连接OD，OF，
∵P为BE的中点，
∴BP=EP，
在△BPF和△EPD中
$\left\{\begin{array}{l}{BP=EP}\\{∠BPF=∠EPD}\\{PF=PD}\end{array}\right.$
∴△BPF≌△EPD（SAS）
∴BF=ED，∠FBP=∠DEP，
又∵△AED是等腰直角三角形，
∴AD=ED，∠DEA=∠DAE=45°，
∴BF=AD，
∴∠FBP=∠DEP=180°-45°=135°，
又∵△AOB和△ADE是等腰直角三角形，
∴OB=OA，∠DEA=∠DAE=45°，
∴BF=AD，
∴∠FBO=∠FBP-∠ABO=135°-45°=90°，
∠DAO=∠DAE+∠BAO=45°+45°=90°，
∴∠FBO=∠DAO=90°，
在△FBO和△DAO中
$\left\{\begin{array}{l}{BO=AO}\\{∠FBO=∠DAO}\\{BF=AD}\end{array}\right.$
∴△FBO≌△DAO（SAS）
∴∠FOB=∠DOA，OD=OF，
∴∠DOF=∠DOB+∠BOF=∠DOB+∠DOA=∠AOB=90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
又∵PF=DP，
∴OP=$\frac{1}{2}$DF，OP⊥DF．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，二元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．