(1)如图.将正方形ABCD与正方形ECGF拼接在一起.使B.C.G三点在一条直线上.CE在边CD上.连接AF.若M为AF的中点.连接DM.ME.试证明:DM=ME,(2)如图2.若将正方形CEFG绕着顶点C逆时针旋转45°.其他条件不变.那么(1)中的结论是否成立?若成立请说明理由.若不成立请直接写出你发现的结论,(3)若将正方形CEFG由图1中的位置绕着顶� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．（1）如图，将正方形ABCD与正方形ECGF（CE＜AB）拼接在一起，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试证明：DM=ME；
（2）如图2，若将正方形CEFG绕着顶点C逆时针旋转45°，其他条件不变，那么（1）中的结论是否成立？若成立请说明理由，若不成立请直接写出你发现的结论；
（3）若将正方形CEFG由图1中的位置绕着顶点C逆时针旋转90°，其他条件不变，请你在图3中画出完整的旋转后的图形，并判定（1）中的结论是否成立．

分析（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据直角三角形的性质得到HM=EM，等量代换得到答案；
（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；
（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．

解答解：（1）如图1，延长EM交AD于H，
∵AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
在△FME和△AMH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFM=∠HAM}\\{FM=AM}\\{∠FME=∠AMH}\end{array}\right.$，
∴△FME≌△AMH，
∴HM=EM，
∵∠HDE=90°，HM=EM，
∴DM=ME；
（2）如图2，连接AE，
∵四边形ABCD和四边形ECGF是正方形，
∴∠FCE=45°，∠CAD=45°，
∴点A、E、C在同一条直线上，
∵∠ADF=90°，∠AEF=90°，M为AF的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$AF，EM=$\frac{1}{2}$AF，
∴DM=ME；
（3）如图3，是画出的完整的旋转后的图形，
连接CF，MG，作MN⊥CD于N，
在△ECM和△GCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=GC}\\{∠ECM=∠GCM}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△ECM≌△GCM，
∴ME=MG，
∵M为AF的中点，FG∥MN∥AD，
∴GN=ND，又ME=MG，
∴MD=MG，
∴MD=ME，
∴（1）中的结论成立．